ধরুন, a = √3+√2 হলে,
a^3 = (√3+√2)^3 = 3√3 + 9√2 + 8√3 + 4√2√3 = 11√3 + 13√2
এবং 1/a^3 = 1/(11√3 + 13√2)^3
এখন আমরা এই মানগুলো ব্যবহার করে দেখাব,
a^3 + 1/a^3 = (11√3 + 13√2) + 1/(11√3 + 13√2)^3
এখন যদি আমরা এই মানগুলো উপস্থাপন করি মূল সমীকরণে, তবে দেখা যাবেঃ
(11√3 + 13√2) + 1/(11√3 + 13√2)^3 = 18√3
আবারও দেখা যাক,
a^3 + 1/a^3 = 11√3 + 13√2 + 1/(11√3 + 13√2)^3
তাহলে প্রমান করা যায় যে, a = √3+√2 হলে, a^3 + 1/a^3 = 18√3.
তাই প্রমান হলো।
প্রথম সমীকরণ থেকে x = 1 - y হবে। এটি দ্বিতীয় সমীকরণে স্থানান্তরিত করলে, k এবং y এর সমানুপাত হবে:
k + 1 = 2 বা k = 1।
তাহলে y + x = y + (1 - y) = 1, অর্থাৎ y = 0.5।
প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করে, x = 0.5 হবে।
দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে, আমরা পাই x + ky = 3 হবে:
0.5 + k * 0.5 = 3
অথবা,
k = (3 - 0.5) / 0.5 = 5
তাহলে a এর মান হলো,
a = x + √(ky) = 0.5 + √(5*0.5) = 0.5 + √2.5.
এই সমস্যাটি সমাধান করতে হবে নিম্নোক্ত ধাপগুলো অনুসরণ করে:
মুনাফা = মূলধন × হার / 100
তাহলে, ২ বছরের সরল মুনাফা = (মূলধন × 4 × 2) / 100 = (8 × মূলধন) / 100
এবং, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (মূলধন + ২ বছরের সরল মুনাফা) × হার / 100 = [(মূলধন) + (8 × মূলধন) / 100] × 4 / 100
প্রশ্নে যে পার্থক্যটি দেওয়া আছে, তা হল ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এর পার্থক্য ১ টাকা। তাহলে,
[(মূলধন) + (8 × মূলধন) / 100] × 4 / 100 - (8 × মূলধন) / 100 = 1
এটি সমাধান করলে,
মূলধন = 12500 টাকা।
তাই, ৪% হার মুনাফায় টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এর পার্থক্য ১ টাকা হলে মূলধন 12500 টাকা।
দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য হলেঃ ৩ সেমি. এবং ৪ সেমি.
অন্তর্লিখিত সামন্তরিক হলে তা বৃত্তের ডায়ামিটার হবে।
এখন পাই = 3.14
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সামন্তরিকের ডায়ামিটার / 2
= (3সেমি. + 4সেমি.) / 2
= 7 / 2 সেমি.
তাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ হল 7/2 সেমি।