Job Solution - গণিত - Page 35 - Prothom Sir

1.

ম্যাট্রিকস $B = (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ কে দুটি ম্যাট্রিকসের যোগফল আকারে প্রকাশ করুন যার একটি হবে সিমেট্রিক এবং অপরটি হবে ভিউ সিমেট্রিক।

2.

নিম্নে বর্ণিত সেটের supremum এবং infimum নির্ণয় করুন , $A = \{\frac{1}{n}; n \in ℕ\}$ একই সঙ্গে Sequence $< \frac{1}{n} >$ যেখানে $n \in ℕ$ convergence কি-না পরীক্ষা করুন।

3.

$\sum_{n = 1}^{\neq} \frac{1}{n}$ সিরিজটির convergence পরীক্ষা করুন।

4.

দেখান যে, $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \sin x}) = - \frac{1}{6}$

5.

Mean value উপপাদ্যের জ্যামিতিক বর্ণনা দিন এবং $f (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ এর (0, 1) বন্ধানীতে গড়মান উপপাদ্য (mean value theorem) যাচাই করুন।

6.

$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ দ্বারা বর্ণিত বৃত্তের জন্য স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করুন।

7.

সেই শর্তে $y = f (x)$ ফাংশনটি, increasing, decreasing, convex, concave এ point of inflection হবে x=a এ বিন্দুতে শর্তগুলো লিখুন।

8.

রোলস (Rolle's) তত্ত্বটি বিবৃত করুন ও প্রমাণ করুন।

9.

যদি [a. b] এর মধ্যে f(x) রিমন ইন্টিগ্রেবল হয় এবং যদি [a,b] এর মধ্যে একটি অন্তকরণযোগ্য ফাংশন F(x) থাকে যেখানে F'(x)=f(x) হয়, তবে দেখান যে, $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

10.

দমিয়ামান (damping) বল কী? m ভর বিশিষ্ট একটি কণা কোনো সরলরেখায় mn² (দূরত্ব) বলের অধীনে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু অভিমুখে চলমান এবং $m μ$ (বেগ) এর সমান একটি ক্ষুদ্র বাধার দ্বারা এর গতি বাধাপ্রাপ্ত হয়। দোলনকাল, বিস্তার এবং দমিত দোলন গতি নির্ণয় করুন।

11.

ডি' এলেমবার্টের নীতি বর্ণনা করুন। একটি সুষম দন্ড OA যার ভর এবং দৈর্ঘ্য 2a, ইহার প্রান্ত O এর প্রেক্ষিতে এবং OZ খাড়া রেখার চারদিকে w সমকৌণিক বেগ এবং ধ্রুবক কোণে ঘুরছে; a এর মান নির্ণয় করুন।

12.

একটি কথার উপর কেন্দ্রীয় বল $\frac{Q}{r^{2}}$ ক্রিয়াশীল যেখানে Q শুধুমাত্র 0 এর ফাংশন। প্রমাণ করুন যে, যদি $Q = μ {(\cos 2 θ)}^{- \frac{3}{2}}$ হয়, তবে সম্ভাব্য গতিপথটি একটি কণিক হবে যা দুটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে।

13.

হালোনোমিক বাধা বলের ক্ষেত্রে এবং রক্ষণশীল পদ্ধতিতে ল্যাজিয়ান (Lagrangian) সমীকরণ নির্ণয় করুন।

14.

অপ্রকৃত কাজের নীতিটি লিখুন। প্রতিটি দৈর্ঘ্য ৪, এবং ওজন ৮ এমন চারটি সুষম দণ্ডকে যুক্তভাবে জোড় দিয়ে সৃষ্ট রন্ধসের ক্ষুদ্রাকার কর্ণটির একটি ও তারের দৈর্ঘ্য দ্বারা গঠিত। যদি দন্ডের একটি অনুভূমিক রাখা হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, তারের টান হবে $\frac{2 w (2 b^{2} - a^{2})}{b \sqrt{4 b^{2}} - a^{2}}$

15.

Differential সমীকরণের order এবং degree বলতে স্ত্রী বুঝা যায় বর্ণনা করুন। নিম্নলিখিত linear differential equation with constant co-efficient সমীকরণগুলো সমাধান করুন।

$i . \frac{d^{3} y}{d x^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = e^{x} + \cos r . i i . (D^{3} + 2 D^{2} + D) y = e^{2 x} + x^{2} + x . i i i . \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 3 x^{2} e^{2 x} \sin 2 x .$

16.

বিটা ও গামা ফাংশনগুলো বর্ণনা করুন। দেখান যে. __

17.

দেখান যে, $β (m, n) = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 m - 1} θ . \cos^{2 n - 1} θ . d θ .$

18.

দেখান যে, Bessel's ফাংশনের Generating ফাংশনটি নিম্নরূপ। $e^{\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{n} J_{n} (x) .$

19.

Legendre polynomial, $P_{0} (x); P_{1} (x)$ এবং $P_{3} (x)$ এর মান বের করুন।

20.

$w = f (z)$ ফাংশনটির রিজিয়ন R এর মধ্যে এনালিটিক হওয়ার পর্যাপ্ত শর্তগুলো বর্ণনা করুন এবং প্রমাণ করুন।