যদি $P = \frac{x^{a}}{x^{b}}, Q = \frac{x^{b}}{x^{c}}$ এবং $R = \frac{x^{c}}{x^{a}}$ হয়, তবে দেখান যে, $\log P^{a^{2} + a b + b^{2}} + \log {Q^{b ² + b c + c}}^{2} + \log R^{c^{2} + c a + a^{2}} = 0$

মিঃ খান তাঁর বেতন থেকে 1200 টাকা প্রথম মাসে জমা করেন এবং পরবর্তী মাসগুলোতে পূর্ববর্তী মাস থেকে 100 টাকা বেশি জমা করেন। কত বৎসরে তাঁর 106200 টাকা জমা হবে?

3.

পরপর তিনটি বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির এক পঞ্চাংশ এবং দ্বিতীয়টির এক তৃতীয়াংশের যোগফলের দ্বিগুণ, তৃতীয়টি থেকে 1 কম হলে, সংখ্যাগুলো বাহির করুন।

4.

DU ভর্তি পরীক্ষায় 120 টি MCQ প্রশ্নের প্রত্যেকটি সঠিক উত্তরের জন্য 1 নম্বর প্রদান করা হয় এবং প্রত্যেকটি ভুল উত্তরের জন্য $\frac{1}{4}$ নম্বর কর্তন করা হয়। একজন পরীক্ষার্থী সকল প্রশ্নের উত্তর দিয়ে 65 নম্বর প্রাপ্ত হয়েছে। পরীক্ষার্থী 4 কতগুলো সঠিক এবং কতগুলো ভুল উত্তর দিয়েছিল?

5.

সমাধান করুন: $4^{x} - 3 . 2^{x + 2} + 2^{5} = 0 .$

6.

-2x+y=-1, x-2y + z = 0 এবং y-2z = -1 সমীকরণসমূহের সমাধান সেট (x, y, z) কত?

7.

${(2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{8}$ এর বিস্তৃতিতে ৪র্থ পদের সহগ নির্ণয় করুন।

8.

প্রত্যেক যাত্রী সমহারে ভাড়া প্রদানের শর্তে 2400 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা। কিন্তু '10' জন যাত্রী অনুপস্থিত হল।' থাকায় তাদের মাথাপিছু ভাড়া '8' টাকা বৃদ্ধি পেল। প্রত্যেক যাত্রীর ভাড়ার পরিমাণ বাহির কর।

9.

একটি দ্রব্য 8% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটি আরও 800 টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে 8% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

10.

যদি A(3, 4), B(-4, 2), C(6, -1) এবং D(K, 3) ধনাত্মক দিক বিবেচনায় বিন্দু হয় এবং ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের তিনগুণ হয়, তবে K-এর মান বাহির করুন।

11.

যদি $\int : x \to \frac{2 x - 1}{2 x + 3}$ এবং $2 \int^{- 1} (x) = x$ হয় তবে x-এর মান বাহির করুন।

12.

ত্রিভুজ $∆ A B C$ এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় F' বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করুন যে, $D E ∥ B C, D E = \frac{1}{2} B C, ∠ B F C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A ।$

13.

যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, প্রমান করুন যে, $(a + b) (b + c) (c + a) > 8 a b c$ এবং দেখান যে, $x y z > (y + z - x) (z + x - y) (x + y - z)$

14.

DeMoivre's উপপাদ্যের সাহায্যে সমাধান করুন: $x^{4} + x^{2} + 1 = 0$

15.

$17 x^{2} + 18 x y - 7 y^{2} - 16 x - 32 y - 18 = 0$ এর রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় করুন, যেখানে x,y এবং xy অনুপস্থিত এবং দুই জায়গাতেই অক্ষদ্বয় আয়তাকার।

16.

কোন শর্তে ২য় ডিগ্রির সাধারণ সমীকরণ, $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ একজোড়া সরলরেখা সূচিত করে।

17.

$3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 10 x - 13 y + 8 = 0$ , দ্বারা প্রকাশিত কণিক (conic) এর প্রকৃতি পরীক্ষা করুন।

18.

Plane এর সমীকরণ বের করুন, যা (2, 2, 1); (9, 3, 6) বিন্দুগামী এবং 2x+6y+6z=9 plane এর plane এর উপর লম্ব।

19.

দেখান যে, নিম্নের সমীকরণসমূহের অসংখ্য সমাধান আছে এবং সেটা বের করুন।

w-x+3y-3z= 3

-5w+2x-5y+4z =-5

-3w-4x-7y-2z= 7

2w+3x+y-11z = 1

20.

দেখান যে, ম্যাট্রিকস $(\begin{matrix} - 1 & 1 & 2 \\ 3 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & 4 \end{matrix})$ এর ইনভার্স আছে এবং সেটা বের করুন।

গণিত

-2x+y=-1, x-2y + z = 0 এবং y-2z = -1 সমীকরণসমূহের সমাধান সেট (x, y, z) কত?