যদি $b^{2} - 2 \sqrt{6} b + 1 = 0$ হয়, তবে $b^{5} + \frac{1}{b^{5}}$ এর মান বাহির করুন

সমাধান সেট বাহির করুন:

$x^{- 1} + b^{- 1} + a^{- 1} = {(a + b + x)}^{- 1}$

যদি $\frac{6}{x} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ হয় তবে দেখান যে, $\frac{x + 3 m}{x - 3 m} + \frac{x + 3 n}{x - 3 n} = 2 .$

4.

$A = c o s θ + \sin θ, B = \cos θ - \sin θ$ দুইটি ত্রিকোণমিতিক রাশি এবং যদি $A = \sqrt{2} (A - \sin θ)$ হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, $B = \sqrt{2} (A - \cos θ)$

5.

$c o t A - \cos e c A = \frac{1}{p}$ হলে প্রমাণ করুন $s e c A = \frac{P^{2} + 1}{p^{2} - 1}$

6.

কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে 60 মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° থেকে 60° হয়। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করুন।

7.

যদি $\cup = \{x : x \in ℤ এ ব ং x^{2} < 100\}$

এবং A= {x : x, 6 এর উৎপাদক}

$B = \{x : x \in ℕ,, x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$

তবে দেখান যে, ${(A \cup B)}^{c} = A^{c} \cap B^{c} .$

8.

যদি $P = \frac{x^{a}}{x^{b}}, Q = \frac{x^{b}}{x^{c}}$ এবং $R = \frac{x^{c}}{x^{a}}$ হয়, তবে দেখান যে, $\log P^{a^{2} + a b + b^{2}} + \log {Q^{b ² + b c + c}}^{2} + \log R^{c^{2} + c a + a^{2}} = 0$

9.

মিঃ খান তাঁর বেতন থেকে 1200 টাকা প্রথম মাসে জমা করেন এবং পরবর্তী মাসগুলোতে পূর্ববর্তী মাস থেকে 100 টাকা বেশি জমা করেন। কত বৎসরে তাঁর 106200 টাকা জমা হবে?

10.

পরপর তিনটি বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির এক পঞ্চাংশ এবং দ্বিতীয়টির এক তৃতীয়াংশের যোগফলের দ্বিগুণ, তৃতীয়টি থেকে 1 কম হলে, সংখ্যাগুলো বাহির করুন।

11.

DU ভর্তি পরীক্ষায় 120 টি MCQ প্রশ্নের প্রত্যেকটি সঠিক উত্তরের জন্য 1 নম্বর প্রদান করা হয় এবং প্রত্যেকটি ভুল উত্তরের জন্য $\frac{1}{4}$ নম্বর কর্তন করা হয়। একজন পরীক্ষার্থী সকল প্রশ্নের উত্তর দিয়ে 65 নম্বর প্রাপ্ত হয়েছে। পরীক্ষার্থী 4 কতগুলো সঠিক এবং কতগুলো ভুল উত্তর দিয়েছিল?

12.

সমাধান করুন: $4^{x} - 3 . 2^{x + 2} + 2^{5} = 0 .$

13.

-2x+y=-1, x-2y + z = 0 এবং y-2z = -1 সমীকরণসমূহের সমাধান সেট (x, y, z) কত?

14.

${(2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{8}$ এর বিস্তৃতিতে ৪র্থ পদের সহগ নির্ণয় করুন।

15.

প্রত্যেক যাত্রী সমহারে ভাড়া প্রদানের শর্তে 2400 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা। কিন্তু '10' জন যাত্রী অনুপস্থিত হল।' থাকায় তাদের মাথাপিছু ভাড়া '8' টাকা বৃদ্ধি পেল। প্রত্যেক যাত্রীর ভাড়ার পরিমাণ বাহির কর।

16.

একটি দ্রব্য 8% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটি আরও 800 টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে 8% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

17.

যদি A(3, 4), B(-4, 2), C(6, -1) এবং D(K, 3) ধনাত্মক দিক বিবেচনায় বিন্দু হয় এবং ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের তিনগুণ হয়, তবে K-এর মান বাহির করুন।

18.

যদি $\int : x \to \frac{2 x - 1}{2 x + 3}$ এবং $2 \int^{- 1} (x) = x$ হয় তবে x-এর মান বাহির করুন।

19.

ত্রিভুজ $∆ A B C$ এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় F' বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করুন যে, $D E ∥ B C, D E = \frac{1}{2} B C, ∠ B F C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A ।$

১

20.

যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, প্রমান করুন যে, $(a + b) (b + c) (c + a) > 8 a b c$ এবং দেখান যে, $x y z > (y + z - x) (z + x - y) (x + y - z)$

১

21.

DeMoivre's উপপাদ্যের সাহায্যে সমাধান করুন: $x^{4} + x^{2} + 1 = 0$

২

22.

$17 x^{2} + 18 x y - 7 y^{2} - 16 x - 32 y - 18 = 0$ এর রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় করুন, যেখানে x,y এবং xy অনুপস্থিত এবং দুই জায়গাতেই অক্ষদ্বয় আয়তাকার।

২

23.

কোন শর্তে ২য় ডিগ্রির সাধারণ সমীকরণ, $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ একজোড়া সরলরেখা সূচিত করে।

৩

24.

$3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 10 x - 13 y + 8 = 0$ , দ্বারা প্রকাশিত কণিক (conic) এর প্রকৃতি পরীক্ষা করুন।

৩

25.

Plane এর সমীকরণ বের করুন, যা (2, 2, 1); (9, 3, 6) বিন্দুগামী এবং 2x+6y+6z=9 plane এর plane এর উপর লম্ব।

ক বিভাগ

26.

দেখান যে, নিম্নের সমীকরণসমূহের অসংখ্য সমাধান আছে এবং সেটা বের করুন।

w-x+3y-3z= 3

-5w+2x-5y+4z =-5

-3w-4x-7y-2z= 7

2w+3x+y-11z = 1

৫

27.

দেখান যে, ম্যাট্রিকস $(\begin{matrix} - 1 & 1 & 2 \\ 3 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & 4 \end{matrix})$ এর ইনভার্স আছে এবং সেটা বের করুন।

৫

28.

ম্যাট্রিকস $B = (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ কে দুটি ম্যাট্রিকসের যোগফল আকারে প্রকাশ করুন যার একটি হবে সিমেট্রিক এবং অপরটি হবে ভিউ সিমেট্রিক।

৬

29.

নিম্নে বর্ণিত সেটের supremum এবং infimum নির্ণয় করুন , $A = \{\frac{1}{n}; n \in ℕ\}$ একই সঙ্গে Sequence $< \frac{1}{n} >$ যেখানে $n \in ℕ$ convergence কি-না পরীক্ষা করুন।

৬

30.

$\sum_{n = 1}^{\neq} \frac{1}{n}$ সিরিজটির convergence পরীক্ষা করুন।

৭

31.

দেখান যে, $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \sin x}) = - \frac{1}{6}$

৭

32.

Mean value উপপাদ্যের জ্যামিতিক বর্ণনা দিন এবং $f (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ এর (0, 1) বন্ধানীতে গড়মান উপপাদ্য (mean value theorem) যাচাই করুন।

৮

33.

$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ দ্বারা বর্ণিত বৃত্তের জন্য স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করুন।

৮

34.

সেই শর্তে $y = f (x)$ ফাংশনটি, increasing, decreasing, convex, concave এ point of inflection হবে x=a এ বিন্দুতে শর্তগুলো লিখুন।

খ বিভাগ

35.

রোলস (Rolle's) তত্ত্বটি বিবৃত করুন ও প্রমাণ করুন।

খ বিভাগ

36.

যদি [a. b] এর মধ্যে f(x) রিমন ইন্টিগ্রেবল হয় এবং যদি [a,b] এর মধ্যে একটি অন্তকরণযোগ্য ফাংশন F(x) থাকে যেখানে F'(x)=f(x) হয়, তবে দেখান যে, $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

ক বিভাগ

37.

দমিয়ামান (damping) বল কী? m ভর বিশিষ্ট একটি কণা কোনো সরলরেখায় mn² (দূরত্ব) বলের অধীনে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু অভিমুখে চলমান এবং $m μ$ (বেগ) এর সমান একটি ক্ষুদ্র বাধার দ্বারা এর গতি বাধাপ্রাপ্ত হয়। দোলনকাল, বিস্তার এবং দমিত দোলন গতি নির্ণয় করুন।

ক বিভাগ

38.

ডি' এলেমবার্টের নীতি বর্ণনা করুন। একটি সুষম দন্ড OA যার ভর এবং দৈর্ঘ্য 2a, ইহার প্রান্ত O এর প্রেক্ষিতে এবং OZ খাড়া রেখার চারদিকে w সমকৌণিক বেগ এবং ধ্রুবক কোণে ঘুরছে; a এর মান নির্ণয় করুন।

ক বিভাগ

39.

একটি কথার উপর কেন্দ্রীয় বল $\frac{Q}{r^{2}}$ ক্রিয়াশীল যেখানে Q শুধুমাত্র 0 এর ফাংশন। প্রমাণ করুন যে, যদি $Q = μ {(\cos 2 θ)}^{- \frac{3}{2}}$ হয়, তবে সম্ভাব্য গতিপথটি একটি কণিক হবে যা দুটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে।

ক বিভাগ

40.

হালোনোমিক বাধা বলের ক্ষেত্রে এবং রক্ষণশীল পদ্ধতিতে ল্যাজিয়ান (Lagrangian) সমীকরণ নির্ণয় করুন।

ক বিভাগ

41.

অপ্রকৃত কাজের নীতিটি লিখুন। প্রতিটি দৈর্ঘ্য ৪, এবং ওজন ৮ এমন চারটি সুষম দণ্ডকে যুক্তভাবে জোড় দিয়ে সৃষ্ট রন্ধসের ক্ষুদ্রাকার কর্ণটির একটি ও তারের দৈর্ঘ্য দ্বারা গঠিত। যদি দন্ডের একটি অনুভূমিক রাখা হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, তারের টান হবে $\frac{2 w (2 b^{2} - a^{2})}{b \sqrt{4 b^{2}} - a^{2}}$

খ বিভাগ

42.

Differential সমীকরণের order এবং degree বলতে স্ত্রী বুঝা যায় বর্ণনা করুন। নিম্নলিখিত linear differential equation with constant co-efficient সমীকরণগুলো সমাধান করুন।

$i . \frac{d^{3} y}{d x^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = e^{x} + \cos r . i i . (D^{3} + 2 D^{2} + D) y = e^{2 x} + x^{2} + x . i i i . \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 3 x^{2} e^{2 x} \sin 2 x .$

১৭

43.

বিটা ও গামা ফাংশনগুলো বর্ণনা করুন। দেখান যে. __

১৭

44.

দেখান যে, $β (m, n) = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 m - 1} θ . \cos^{2 n - 1} θ . d θ .$

১৮

45.

দেখান যে, Bessel's ফাংশনের Generating ফাংশনটি নিম্নরূপ। $e^{\frac{x}{2} (t - \frac{1}{t})} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{n} J_{n} (x) .$

১৮

46.

Legendre polynomial, $P_{0} (x); P_{1} (x)$ এবং $P_{3} (x)$ এর মান বের করুন।

খ বিভাগ

47.

$w = f (z)$ ফাংশনটির রিজিয়ন R এর মধ্যে এনালিটিক হওয়ার পর্যাপ্ত শর্তগুলো বর্ণনা করুন এবং প্রমাণ করুন।

খ বিভাগ

48.

রেসিডিও ব্যবহার করে ইন্টিগ্র্যাল $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} d x}{x^{6} + 1}$ এর মান বের করুন।

Job Solution | বিসিএস প্রিলিমিনারি + রিটেন টেস্ট

৪৫ তম বিসিএস লিখিত || 2024

All

গণিত

-2x+y=-1, x-2y + z = 0 এবং y-2z = -1 সমীকরণসমূহের সমাধান সেট (x, y, z) কত?

রোলস (Rolle's) তত্ত্বটি বিবৃত করুন ও প্রমাণ করুন।

হালোনোমিক বাধা বলের ক্ষেত্রে এবং রক্ষণশীল পদ্ধতিতে ল্যাজিয়ান (Lagrangian) সমীকরণ নির্ণয় করুন।