১৭ তম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা (কলেজ পর্যায়)।। প্রভাষক (06-05-2023) || 2023

${(x + 1)}^{5} + {(x - 1)}^{5} = 0$ সমীকরণকে ডি-ময়ভারের উপপাদ্যের সাহায্যে সমাধান করুন।

$2.4 . 6^{2} + 4.6 . 8^{2} + 6.8 . 10^{2} + . . . . . . . .$ ধারাটির n পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করুন।

যদি x একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং y যে কোনো বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে দেখান যে, একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা n বিদ্যমান থাকিবে যেখানে nx > y.

4.

যদি a, b, c > 0 এবং সবগুলো সমান না হয় তবে দেখান যে, $\frac{b^{4} + c^{4}}{b + c} + \frac{c^{4} + a^{4}}{c + a} + \frac{a^{4} + b^{4}}{a + b} > 3 abc$

5.

যে কোনো তিনটি সেট A, B, C এর জন্য প্রমাণ করুন : $(A - B) \times C = (A \times C) - (B \times C)$

6.

$h (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 3}$ ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ (Range) নির্ণয় করুন।

7.

যদি $x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$ সমীকরণের মূলগুলি $α, β, γ$ হয় তবে, $β γ - α^{2}, γ α - β^{2}$ এবং $α β - γ^{2}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় করুন।

8.

সিনথেটিক ভাগ পদ্ধতির সাহায্যে $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ সমীকরণ হতে $S_{4}$ বাহির করুন।

9.

ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে নিম্নের সমীকরণ জোটের সমাধান করুন :

x+y+z = 1

x + 2y + z = 2

x+y+2z = 0

10.

নিম্নের ম্যাট্রিক্সের জন্য কেইলী হ্যামিলটনের উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই করুন : $A = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

11.

যোগাশ্রয়ী রূপান্তরের ইমেজ ও কার্ণেল কী ? মনে করুন T : V(F) $\to$ U(F) একটি যোগাশ্রয়ী রূপান্তর। তাহা হইলে দেখান যে, Ker T একটি V(F) এর উপজগত ।

12.

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ম্যাট্রিকটি সাকীকরণ যোগ্য নয়, প্রমাণ করুন ।

13.

যদি $x^{2} (\tan^{2} θ + c o s^{2} θ) - 2 xy t a n θ + y^{2} s i n^{2} θ = 0$ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত দুইটি সরলরেখা x-অক্ষের সাথে যথাক্রমে $α$ এবং $β$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে প্রমাণ করুন যে, $\tan α - t a n β = 2$

14.

${ax}^{2} + 2 hxy + {by}^{2} - 2 gx + 2 fy + c = 0$ সমীকরণ দ্বারা একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে, তবে প্রমাণ করুন যে, উহাদের ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর দূরত্বের বর্গের মান— $\frac{c (a + b) - f^{2} - g^{2}}{ab - h^{2}}$

15.

$5 x^{2} - 2 xy + 5 y^{2} - 8 x - 8 y - 8 = 0$ সমীকরণটিকে প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে কণিকটি শনাক্ত করুন।

16.

$4 y^{2} - 20 x - 8 y + 39 = 0$ পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, অক্ষের সমীকরণ, নিকাক্ষের সমীকরণ, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

17.

দুইটি সরলরেখার দিক কোসাইন $2 l + 2 m - n = 0$ এবং $l m + mn + n l = 0$ দ্বারা নির্দেশিত হইলে রেখাদ্বয়ের দিক কোসাইন নির্ণয় করুন। সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব প্রমাণ করুন।

18.

দেখান যে, $6 (x - 2) = 3 (y + 1) = z - 2$ সরলরেখা এবং $x - y + z = 5$ সমতলের ছেদবিন্দু এবং (– 1, – 5, – 10) বিন্দুর দূরত্ব 13.

19.

প্রমাণ করুন $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ , যেখানে ABC যে কোনো একটি ত্রিভুজ।

20.

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ সমতলীয় ভেক্টর না হইলে দেখান যে, $\vec{d} = \frac{[\vec{d} \vec{b} \vec{c}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{a} + \frac{[\vec{a} \vec{d} \vec{c}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{b} + \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{c}$

21.

x = 0 এবং x = 1 বিন্দুতে $f : R \to R$ ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা করুন। যেখানে, $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 & য খ ন & x < 0 \\ x & য খ ন & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & য খ ন & x > 1 \end{cases}$

22.

$\frac{x}{\ln x}$ এর লঘিষ্ঠ মান নির্ণয় করুন।

23.

$y = l n (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ হলে দেখান যে,

$(1 + x^{2}) y_{n + 2} + (2 n + 1) {xy}_{n + 1} + n^{2} y_{n} = 0$

24.

$y = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 7$ এর বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম এবং বক্রতার বিন্দুসমূহ নির্ণয় করুন। দেখান যে, বক্রতার বিন্দু বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বিন্দুর মাঝখানে অবস্থিত।

25.

সমাধান করুন : $(i) \int \frac{dx}{(x - 1) \sqrt{x^{2} + 1}} (ii) \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) dx$

26.

সমাধান করুন : $y (1 + xy) dx + x (1 - xy) dy = 0$

27.

$y^{2} = 8 x$ পরাবৃত্ত ও $y = 4 x - 4$ সরলরেখা দ্বারা পরিবেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বাহির করুন।

28.

সমাধান করুন : $(D^{4} - 1) y = e^{x} c o s x$

29.

নিম্নলিখিত ধারাটির যোগফল বের করার জন্য একটি Fortran প্রোগ্রাম লিখুন :
$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + . . . . . . . . + \frac{x^{10}}{10!}$

30.

নিউটন-র‍্যাফসন (Newton-Raphson) পদ্ধতি ব্যবহার করে $x^{4} + x^{2} - 80 = 0$ সমীকরণের মূল তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করুন।

31.

x এর কিছু সমদূরত্বের মানের জন্য $e^{- x}$ এর মান নিচের তালিকায় দেয়া হলো। $x = 1.7489$ এর জন্য $e^{- x}$ এর মান নির্ণয় করুন।

$x$	1.73	1-74	1-75	1-76	1.77	1-78
$e^{- x}$	0.1773	0-1755	0-1738	0-1720	0-1703	0-1686

32.

প্রমাণ করুন যে, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের চরম অনুকূল সমাধান (Optimal Solution) এর সেট একটি উত্তল সেট (Convex Set)।

33.

নিম্নের লিনিয়ার প্রোগ্রাম সমস্যাকে ক্যানোনিকাল আকারে (Canonical form) প্রকাশ করুন :

সর্বোচ্চকরণ করুন :

$z = 5 x_{1} + 3 x_{2} - 4 x_{3}$

শর্তসমূহ : $x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} \leq 5$

$2 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 4$

$3 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} \geq 2$

$x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{3}$ এর চিহ্ন উন্মুক্ত।

34.

ম্যাট্রিক্স ভেক্টর প্রতীক ব্যবহার করে নিম্নের সমীকরণ জোটের অধঃপতিত সমাধান আছে তা প্রমাণ করুন :

$2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 2$

$3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 3$

Job Solution | প্রভাষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা

All

গণিত

Related Sub Categories