নিম্নের ম্যাট্রিক্সের জন্য কেইলী হ্যামিলটনের উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই করুন : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$

$4{\mathrm{y}}^2-20\mathrm{x}-8\mathrm{y}+39=0$ পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, অক্ষের সমীকরণ, নিকাক্ষের সমীকরণ, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

দুইটি সরলরেখার দিক কোসাইন $2\mathcal{l}+2\mathrm{m}-\mathrm{n}=0$ এবং $\mathcal{l}\mathrm{m}+\mathrm{mn}+\mathrm{n}\mathcal{l}=0$ দ্বারা নির্দেশিত হইলে রেখাদ্বয়ের দিক কোসাইন নির্ণয় করুন। সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব প্রমাণ করুন।

দেখান যে, $6\left(\mathrm{x}-2\right)=3\left(\mathrm{y}+1\right)=\mathrm{z}-2$ সরলরেখা এবং $\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=5$ সমতলের ছেদবিন্দু এবং (– 1, – 5, – 10) বিন্দুর দূরত্ব 13.

প্রমাণ করুন $\frac{\sin \mathrm{A}}{\mathrm{a}}=\frac{\sin \mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{\sin \mathrm{C}}{\mathrm{c}}$ , যেখানে ABC যে কোনো একটি ত্রিভুজ।

$\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ সমতলীয় ভেক্টর না হইলে দেখান যে, $\overrightarrow{\mathrm{d}}=\frac{\left[\overrightarrow{\mathrm{d}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}{\left[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{\left[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{d}} \overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}{\left[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{\left[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{d}}\right]}{\left[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}\overrightarrow{\mathrm{c}}$