Job Solution - গণিত - Page 71 - Prothom Sir

1.

যদি $x^{2} (\tan^{2} θ + c o s^{2} θ) - 2 xy t a n θ + y^{2} s i n^{2} θ = 0$ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত দুইটি সরলরেখা x-অক্ষের সাথে যথাক্রমে $α$ এবং $β$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে প্রমাণ করুন যে, $\tan α - t a n β = 2$

2.

${ax}^{2} + 2 hxy + {by}^{2} - 2 gx + 2 fy + c = 0$ সমীকরণ দ্বারা একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে, তবে প্রমাণ করুন যে, উহাদের ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর দূরত্বের বর্গের মান— $\frac{c (a + b) - f^{2} - g^{2}}{ab - h^{2}}$

3.

$5 x^{2} - 2 xy + 5 y^{2} - 8 x - 8 y - 8 = 0$ সমীকরণটিকে প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে কণিকটি শনাক্ত করুন।

4.

$4 y^{2} - 20 x - 8 y + 39 = 0$ পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, অক্ষের সমীকরণ, নিকাক্ষের সমীকরণ, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

5.

দুইটি সরলরেখার দিক কোসাইন $2 l + 2 m - n = 0$ এবং $l m + mn + n l = 0$ দ্বারা নির্দেশিত হইলে রেখাদ্বয়ের দিক কোসাইন নির্ণয় করুন। সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব প্রমাণ করুন।

6.

দেখান যে, $6 (x - 2) = 3 (y + 1) = z - 2$ সরলরেখা এবং $x - y + z = 5$ সমতলের ছেদবিন্দু এবং (– 1, – 5, – 10) বিন্দুর দূরত্ব 13.

7.

প্রমাণ করুন $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ , যেখানে ABC যে কোনো একটি ত্রিভুজ।

8.

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ সমতলীয় ভেক্টর না হইলে দেখান যে, $\vec{d} = \frac{[\vec{d} \vec{b} \vec{c}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{a} + \frac{[\vec{a} \vec{d} \vec{c}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{b} + \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} \vec{c}$

9.

x = 0 এবং x = 1 বিন্দুতে $f : R \to R$ ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা করুন। যেখানে, $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 & য খ ন & x < 0 \\ x & য খ ন & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & য খ ন & x > 1 \end{cases}$

10.

$\frac{x}{\ln x}$ এর লঘিষ্ঠ মান নির্ণয় করুন।

11.

$y = l n (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ হলে দেখান যে,

$(1 + x^{2}) y_{n + 2} + (2 n + 1) {xy}_{n + 1} + n^{2} y_{n} = 0$

12.

$y = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x + 7$ এর বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম এবং বক্রতার বিন্দুসমূহ নির্ণয় করুন। দেখান যে, বক্রতার বিন্দু বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বিন্দুর মাঝখানে অবস্থিত।

13.

সমাধান করুন : $(i) \int \frac{dx}{(x - 1) \sqrt{x^{2} + 1}} (ii) \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) dx$

14.

সমাধান করুন : $y (1 + xy) dx + x (1 - xy) dy = 0$

15.

$y^{2} = 8 x$ পরাবৃত্ত ও $y = 4 x - 4$ সরলরেখা দ্বারা পরিবেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বাহির করুন।

16.

সমাধান করুন : $(D^{4} - 1) y = e^{x} c o s x$

17.

নিম্নলিখিত ধারাটির যোগফল বের করার জন্য একটি Fortran প্রোগ্রাম লিখুন :
$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + . . . . . . . . + \frac{x^{10}}{10!}$

18.

নিউটন-র‍্যাফসন (Newton-Raphson) পদ্ধতি ব্যবহার করে $x^{4} + x^{2} - 80 = 0$ সমীকরণের মূল তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করুন।

19.

x এর কিছু সমদূরত্বের মানের জন্য $e^{- x}$ এর মান নিচের তালিকায় দেয়া হলো। $x = 1.7489$ এর জন্য $e^{- x}$ এর মান নির্ণয় করুন।

$x$	1.73	1-74	1-75	1-76	1.77	1-78
$e^{- x}$	0.1773	0-1755	0-1738	0-1720	0-1703	0-1686

20.

প্রমাণ করুন যে, যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের চরম অনুকূল সমাধান (Optimal Solution) এর সেট একটি উত্তল সেট (Convex Set)।