প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একজন মোটর আরোহী ও একজন সাইকেল আরোহী একই সময় A হতে B এর দিকে রওনা দিলেন। A হতে B এর মধ্যবর্তী দূরত্ব 18km. সাইকেল আরোহী অপেক্ষা মোটর আরোহীর গতিবেগ 15 kmph বেশি। অর্ধেক পথ যাওয়ার পর মোটর আরোহী 30 মিনিট বিশ্রাম নিলেন এবং এরপর চলার সময় তার গতিবেগ 20% কমিয়ে আনলেন। যদি মোটর আরোহী সাইকেল আরোহী অপেক্ষা 15 মিনিট পূর্বেই B তে পৌঁছান তবে সাইকেল আরোহীর গতিবেগ কত ছিল?

Here we let the speed of the cyclist is x kmph.

∴ The speed of the motorist is (x + 15) kmph.

Cyclist goes through all the path in x kmph and motorist goes half the way in (x + 15) kmph and other half the way in 80% of (x + 15) kmph, that's why we can write down.

$$\begin{gathered} \frac{18}{x} - \left[\frac{9}{x+15} + \frac{9}{80\% of \left(x+15\right)}\right] = \frac{15+30}{60} \\ \Rightarrow \frac{18}{x} - \left[\frac{9}{x+15} + \frac{9}{{\displaystyle \frac{4 \left(x+15\right)}{5}}}\right] = \frac{45}{60} \\ \Rightarrow \frac{18}{x} \left[\frac{9}{x+15} +\frac{45}{4 \left(x+15\right)} \right] = \frac{45}{60} \\ \Rightarrow \frac{18}{x} - \frac{9}{x+15} - \frac{45}{4 \left(x+15\right)} = \frac{3}{4} \\ \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{1}{x+5} - \frac{5}{4 \left(x+15\right)} = \frac{1}{12} [Dividing by 9] \\ \Rightarrow \frac{2 \times 4 \left(x+15\right) - 4x -5x}{4 \left(x+15\right)} = \frac{1}{12} \\ \Rightarrow \left(8x + 120 - 9x\right) \times 12 = 4x^2 + 60x \\ \Rightarrow \left(120 -x\right) \times 12 = 4x^2 + 60x \\ \Rightarrow 1,440 - 12x = 4x^2 + 60x \\ \Rightarrow 4x^2 + 60x + 12x -1400 = 0 \\ \Rightarrow 4x^2 + 72x -1400 = 0 \\ \Rightarrow x^2 + 30x -12-360 = 0 \\ \Rightarrow x \left(x+30\right) -12 \left(x+30\right) = 0 \\ \Rightarrow \left(x+30\right) \left(x-12\right) =0 \\ As, speed can\text{'}t be negative, so x=-30 is not acceptable. \\ \therefore x = 12 \\ \therefore The speed of the motor cyclist is 12 kmph. \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, এক ব্যক্তি স্রোতের প্রতিকূলে 30km এবং স্রোতের অনুকূলে 44km যেতে 10 ঘণ্টা সময় নেয়। আবার স্রোতের প্রতিকূলে 40 kmph এবং অনুকূলে 50 kmph যেতে লোকটি 13 ঘণ্টা সময় নেয়। স্থির পানিতে লোকটির গতিবেগ কত?

Let, the man's upstream speed is x kmph

And the man's downstream speed is y kmph

$$\begin{gathered} So, \frac{30}{x} + \frac{44}{y} = 10 . . . . . . . . . . . . \left(i\right) \\ And \frac{40}{x} + \frac{55}{y} = 13 . . . . . . . . . . . . \left(ii\right) \\ Now, we assume that \frac{1}{x} = a and \frac{1}{y} =b \\ \therefore 30a + 44b = 10 . . . . . . . . . . . . \left(iii\right) \\ And 40a +55b = 13 . . . . . . . . . . . . \left(iv\right) \\ Now multiplying \left(iii\right) by 4 and \left(iv\right) by 3, we get \\ \frac{120a + 176b = 40 \\ 120a + 165b = 39}{(-) 11b=1} \\ \Rightarrow b = \frac{1}{11} \\ Now, putting the value of b in equation \left(iii\right), we get \\ 30a +44b = 10 \\ \Rightarrow 30a + 44 \times \frac{1}{11} = 10 \\ \Rightarrow 30a + 4 = 10 \\ \Rightarrow 30a = 10-4 = 6 \\ \therefore a = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \\ That mean\text{'}s \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \\ \therefore x = 5 \\ And \frac{1}{y} = \frac{1}{11} \\ \therefore y = 11 \\ \therefore Man\text{'}s rate in still water = \frac{1}{2} \left(5+11\right) = \frac{16}{2} = 8kmph. \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, A এবং B একটি কাজ একত্রে 30 দিনে করতে পারে, B ও C একত্রে 24 দিনে এবং C ও A একত্রে 20 দিনে করতে পারে। তারা 3 জন একত্রে 10 দিন কাজ করে এবং এরপর B ও C কাজ ছেড়ে চলে যায়। কাজটি শেষ করতে A আরো কত দিন সময় নিবে?

$$\begin{gathered} (A + B) + (B + C) + (C + A)\text{'}s 1 day\text{'}s work = \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{24}+ \frac{1}{20}\right) Part \\ \Rightarrow 2 \left(A+B+C\right)\text{'}s 1 day\text{'}s work = \frac{15}{120} Part \\ \therefore \left(A+B+C\right)\text{'}s 1 day\text{'}s work = \frac{15}{120 \times 2} = \frac{1}{16} Part \\ \therefore \left(A+B+C\right)\text{'}s together do in 10 days = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} Part \\ Remaining work = \left(1 - \frac{5}{8}\right) = \left(\frac{8-5}{8}\right) = \frac{3}{8} Part \\ Now, A does in 1 day = \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{24}\right) = \frac{1}{48} Part \\ That means \frac{1}{48} Part of the work is done by A in 1 day \\ \therefore \frac{3}{8} Part of the work is done by A in\left(\frac{48 \times 3}{8}\right) = 18 days \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি পাত্রে 4 : 3 অনুপাতে 28 লিটারের মধু ও পানির মিশ্রণ রয়েছে। ঐ পাত্রে আরো 21 লিটার মিশ্রণ যোগ করায় মধু ও পানির অনুপাত হলো 2 : 1. এরপর আবার 9 : 8 অনুপাতে থাকা 51 লিটারের মধু ও পানির মিশ্রণ ঐ পাত্রে ঢালা হল। এরপর সমগ্র মিশ্রণ হতে 10 লিটার মিশ্রণ মধু দ্বারা Replace করা হল। সবশেষে ঐ পাত্রে পানি ও মধুর অনুপাত কত ছিল?

We will find out honey and water from three different ways.

We get total amount of honey from three solution,

= $$\begin{gathered} = \left[\left(28 \times \frac{4}{7}\right) + \left(21 \times \frac{3}{22}\right) + \left(51 \times \frac{9}{17}\right)\right] = 16+14+27 = 57 liters \\ And we get total amount of water from three solution, \\ = \left[\left(28 \times \frac{3}{7}\right) + \left(21 \times \frac{1}{3}\right)+ \left(51 \times \frac{8}{17}\right)\right] = 12 + 7 +24 = 43 liters \\ \therefore The amount of total solution = 57 + 43 = 100 liters. \\ Here, 10 liters of pure honey is 10\% of 100 liters of solution. \\ So, this 10\% solution will be replaced from both honey and water with 10 liters pure honey. \\ \therefore The amount of honey after replacement = \left[57 - (10\% of 57) + 10\right] \\ = 67-5.7 = 61.3 liters \\ And the amount of water after replacement = \left[43 - (10\% of 43) + 10\right] \\ = 43-4.3 = 38.7 liters \\ \therefore Water : Honey = 38.7: 61.3 = 387 : 613 [Multiplying by 10] \\ \mathit{A}\mathit{n}\mathit{s}\mathit{w}\mathit{e}\mathit{r}\mathbf{:} 387 : 613. \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, তিনটি পাইপ দ্বারা একটি পানির ট্যাংক পূর্ণ করা হয়। প্রথম দুটি পাইপ দ্বারা একই সময় ধরে ট্যাংকটি চালু থাকার পর তা বন্ধ করে দেয়া হয় এবং পরে শুধু তৃতীয় পাইপ দ্বারা ট্যাংকটি পূর্ণ করা হয়। দ্বিতীয় পাইপ প্রথমটির চেয়ে 5 গুণ বেশি হারে কিন্তু তৃতীয়টির চেয়ে 4 গুণ কম হারে ট্যাংকটি পূর্ণ করে। প্রথম পাইপটি একা কত ঘণ্টায় ট্যাংকটি পূর্ণ করবে?

Let, the first pipe can alone fill the tank in x hour

∴ 2^nd and 3^rd pipe will take (x-5) and (x-9) hours to fill the tank.

According to the question

$$\begin{gathered} \frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{x-9} \\ \Rightarrow \frac{\left(x-5\right) +x}{x \left(x-5\right)} = \frac{1}{x-9} \\ \Rightarrow (2x-5) (x-9) = x(x-5) \\ \Rightarrow 2x^2-18x-5x+45= x^2-5x \\ \Rightarrow x^2-18x+45= 0 \\ \Rightarrow x^2-15x-3x+45= 0 \\ \Rightarrow x(x-15)-3(x-15)=0 \\ \Rightarrow (x-15) (x-3)=0 \\ Now x-15=0 [x= 3 is not acceptable] \\ \therefore x = 15 \\ The first pipe will take 15 minutes to fill the \tan k. \end{gathered}$$