আমরা জানি, \( \tan ^{2} A = \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} \)।

এখন আমরা দেখবো যে, \( \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A} \) এর সর্বোচ্চ মান কত।

প্রথমে আমরা দেখবো যে, \( 1-\tan ^{2} A = \cos ^{2} A \) (এটি ট্রিগোনোমেট্রিকের মাধ্যমে প্রমাণ করা যায়)।

আবার, \( 1+\tan ^{2} A = \frac{1}{\cos ^{2} A} \) (এটিও ট্রিগোনোমেট্রিকের মাধ্যমে প্রমাণ করা যায়)।

তাহলে, \( \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A} = \frac{\cos ^{2} A}{\frac{1}{\cos ^{2} A}} = \cos ^{4} A \)।

এখন আমরা জানি , \( -1 \leq \cos A \leq 1 \)। তাই সর্বোচ্চ মান পেতে হলে, \( \cos A = 1 \) হতে হবে।

তাহলে, \( \cos ^{4} A = 1^{4} = 1 \)।

সুতরাং, \( \frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A} \) এর সর্বোচ্চ মান 1