প্রশ্নে আমাদের \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin x}{\sin 6x} \) বের করতে হবে।

প্রথমে, উপরের সংখ্যাকে সরল করার জন্য আমরা \( \sin A - \sin B \) সূত্র ব্যবহার করব। সূত্রটি হলো:

\[
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]

এখন, \( A = 7x \) এবং \( B = x \) ধরে নিচ্ছি। তাহলে:

\[
\sin 7x - \sin x = 2 \cos\left(\frac{7x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{7x - x}{2}\right)
\]

\[
= 2 \cos\left(4x\right) \sin\left(3x\right)
\]

এখন, লিমিটকে এইভাবে লেখা যায়:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(4x) \sin(3x)}{\sin(6x)}
\]

### ধাপ ২: লিমিটের সরলীকরণ
আমরা জানি যে, \( x \to 0 \) হলে \( \frac{\sin(kx)}{kx} \to 1 \)। তাই \( \sin(3x) \) এবং \( \sin(6x) \) কে এইভাবে লিখতে পারি:

\[
= \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(4x) \cdot \sin(3x)}{\sin(6x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(4x) \cdot \frac{\sin(3x)}{x}}{\frac{\sin(6x)}{x}}
\]

এখন, \( \frac{\sin(3x)}{x} \to 3 \) এবং \( \frac{\sin(6x)}{x} \to 6 \) যখন \( x \to 0 \):

\[
= \lim_{x \to 0} 2 \cos(4x) \cdot \frac{3}{6}
\]

\[
= \lim_{x \to 0} \cos(4x) \cdot \frac{1}{1}
\]

যেহেতু \( x \to 0 \) হলে \( \cos(4x) \to 1 \), সুতরাং:

\[
= 1 \cdot \frac{1}{1}
\]

### সঠিক উত্তর:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin x}{\sin 6x} = 1
\]